الرياضيات المتناهية الأمثلة

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ .

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

خطوة 2

أعِد كتابة $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$b^{3} = \frac{27}{64}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $\frac{27}{64}$ من كلا المتعادلين.

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{27}{64}$ بالصيغة ${(\frac{3}{4})}^{3}$ .

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = b$ و $b = \frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اجمع $b$ و $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3.3

اضرب $3$ في $b$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

خطوة 3.2.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{4}$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

خطوة 3.2.3.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

خطوة 3.2.3.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $b - \frac{3}{4}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $b - \frac{3}{4}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$b - \frac{3}{4} = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $\frac{3}{4}$ إلى كلا المتعادلين.

$b = \frac{3}{4}$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $b$ في $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $16$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.5.2.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.5.2.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.5.2.1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.5.2.1.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.5.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

خطوة 3.5.2.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

خطوة 3.5.2.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5.2.3

عوّض بقيم $a = 16$ و $b = 12$ و $c = 9$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $b$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 64$ في $9$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.3

اطرح $576$ من $144$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 432$ بالصيغة $- 1 (432)$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (432)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.7

أعِد كتابة $432$ بالصيغة $12^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $144$ من $432$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $144$ بالصيغة $12^{2}$ .

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.1.9

انقُل $12$ إلى يسار $i$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

خطوة 3.5.2.4.2

اضرب $2$ في $16$ .

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

خطوة 3.5.2.4.3

بسّط $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ .

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 3.5.2.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ صحيحة.

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$